Simulare Matematică M2 — Subiectul III

Primele întrebări

1. Se consideră funcția $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln x$.

   a) Calculează $f^{\prime }(x)$ și determină intervalele de monotonie ale funcției $f$. (5 puncte)

   b) Arată că $x=1$ este punct de minim al funcției $f$ și că $f(x)\ge 1$ pentru orice $x>0$. (5 puncte)

   c) Calculează $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$. (5 puncte)

   Redactează rezolvarea complet, cu justificări: la Subiectul III se punctează pașii, nu doar rezultatul final.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+2x$.

   a) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $\mathbb{R}$. (5 puncte)

   b) Calculează ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$. (5 puncte)

   c) Calculează aria suprafeței plane cuprinse între graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=2$. (5 puncte)

   Redactează rezolvarea complet, cu justificări la fiecare pas.