Simulare Matematică M2 — Subiectul II

Primele întrebări

1. Se consideră matricea

   $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$$

   și matricea unitate $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

   a) Calculează $\det (A)$ și arată că $A$ este inversabilă în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. (5 puncte)

   b) Calculează matricea $A^2-4A$. (5 puncte)

   c) Folosind rezultatul de la punctul b), determină $A^{-1}$ fără a mai calcula adjuncta. (5 puncte)

   Redactează rezolvarea complet: la Subiectul II se punctează pașii intermediari, nu doar rezultatul final.

2. Se consideră sistemul de ecuații liniare

   $$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x-y+2z=5\\ 2x+y-z=1\end{array}$$

   cu necunoscutele $x$, $y$, $z$ numere reale.

   a) Scrie matricea sistemului și calculează determinantul ei. (5 puncte)

   b) Arată că sistemul este compatibil determinat și rezolvă-l. (5 puncte)

   c) Determină numerele reale $a$ pentru care sistemul obținut prin înlocuirea ecuației a treia cu $2x+y+az=1$ este compatibil determinat. (5 puncte)

   Redactează rezolvarea complet, cu justificări la fiecare pas.