Simulare Matematică M1 — Subiectul III

Primele întrebări

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-1)e^x$.

   a) Calculează $f^{\prime }(x)$ și determină intervalele de monotonie ale funcției $f$. (5 puncte)

   b) Calculează ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$, deduce ecuația asimptotei orizontale spre $-\infty$ și determină punctul de extrem local al funcției $f$. (5 puncte)

   c) Arată că $f(x)\ge -1$ pentru orice număr real $x$. (5 puncte)

   Redactează rezolvarea complet, cu justificări: la Subiectul III se punctează pașii, nu doar rezultatul final.

2. Se consideră funcția $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{1}{x}$.

   a) Calculează ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$. (5 puncte)

   b) Determină primitiva $F$ a funcției $f$ pe $(0,\infty )$ pentru care $F(1)=0$. (5 puncte)

   c) Calculează ${\int }_1^2\frac{f(x)}{x}\mathrm{d}x$. (5 puncte)

   Redactează rezolvarea complet, cu justificări la fiecare pas.