Simulare Matematică M1 — Subiectul II

Primele întrebări

1. Se consideră matricea

   $$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$$

   și matricea unitate $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

   a) Calculează $\det (A)$ și arată că $A$ este inversabilă în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$; determină apoi $A^{-1}$. (5 puncte)

   b) Verifică prin calcul direct egalitatea $A^2=4A-I_2$. (5 puncte)

   c) Determină numerele reale $x$ pentru care $\det (A-x{I}_2)=0$. (5 puncte)

   Redactează rezolvarea complet: la Subiectul II se punctează pașii intermediari, nu doar rezultatul final.

2. Pe mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție

   $$x\ast y=xy-3x-3y+12$$

   a) Arată că $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$. (5 puncte)

   b) Folosind egalitatea de la punctul a), arată că legea „$\ast$” este asociativă și determină elementul neutru al ei. (5 puncte)

   c) Determină simetricul lui $5$ în raport cu legea „$\ast$”, apoi rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $x\ast x=7$. (5 puncte)

   Redactează rezolvarea complet, cu justificări la fiecare pas.