Polinoame

Algebră — Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp (clasa a XII-a)

Efectuarea împărțirii polinoamelor și aplicarea teoremei lui Bézout pentru determinarea parametrilor.
Folosirea schemei lui Horner și descompunerea unui polinom în factori.
Calculul expresiilor simetrice ale rădăcinilor cu relațiile lui Viète.

Împărțirea cu rest este unică sub condiția $grad (r) < grad (g)$ ; la împărțirea prin $X - a$ restul este constanta $f (a)$ .
Teorema lui Bézout: $(X - a) ∣ f ⟺ f (a) = 0$ . Este cel mai scurt drum pentru determinarea unui parametru.
Schema lui Horner dă câtul și restul împărțirii la $X - a$ ; coeficienții nuli se scriu explicit.
Un polinom de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini, iar peste $C$ exact $n$ , numărate cu multiplicitate.
Rădăcinile raționale $\frac{p}{q}$ au $p ∣ a_{0}$ și $q ∣ a_{n}$ ; rădăcinile întregi se caută printre divizorii termenului liber.
Relațiile lui Viète leagă rădăcinile de coeficienți cu semne alternante și permit calculul expresiilor simetrice, de exemplu $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ .
Peste $Z_{p}$ rădăcinile se găsesc verificând, pe rând, toate cele $p$ clase.