Numere complexe

Algebră — Numere complexe (clasa a X-a)

Efectuarea operațiilor cu numere complexe scrise în formă algebrică, inclusiv împărțirea prin amplificare cu conjugatul.
Scrierea unui număr complex în formă trigonometrică și folosirea formulei lui Moivre.
Rezolvarea în mulțimea numerelor complexe a ecuațiilor de gradul al II-lea cu discriminant negativ.

Orice număr complex se scrie unic $z = a + bi$ , cu $a, b$ reale și $i^{2} = - 1$ .
$z = a - bi$ , $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ și $z \cdot z = ∣ z ∣^{2}$ ; împărțirea se face amplificând cu conjugatul.
Puterile lui $i$ au perioada $4$ : se folosește restul împărțirii exponentului la $4$ .
Forma trigonometrică este $z = r (cos t + i sin t)$ , cu $r = ∣ z ∣$ , iar argumentul se stabilește după cadran.
Formula lui Moivre, $z^{n} = r^{n} (cos n t + i sin n t)$ , rezolvă rapid puterile mari.
Un număr complex nenul are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$ , ale căror imagini formează un poligon regulat.
Pentru $Δ < 0$ rădăcinile sunt complexe conjugate, iar relațiile lui Viète rămân valabile.